Zemax光学设计实例（159）---双片式透镜的Seidel像差及校正

2022-06-18 01:10发布

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双片式物镜适用于很多小口径（最大为f/4）和小视场角的情况。
双片物镜的两个元件可以胶合在一起，也可以用空气间隔分开。在大多数情况下，两片透镜是胶合在一起的，因为这样公差更容易满足而且更牢固。
双片镜可以多带带使用，也可以用作准直镜或者望远镜的物镜。许多透镜系统都含有若干个双片镜。
对单个双片式物镜探讨得到的大部分结果，也适用于复杂系统中的双片镜。
 
1. 双片式物镜的Seidel分析
1.1 色差
由在光阑处的薄透镜的轴向色差的Seidel方程：
若要使双片式物镜的轴向色差得以校正，需要满足的条件为：
同时，两个透镜的光焦度的和等于总光焦度：
联立上面两式可以求出：
在常规的光学设计中，常用玻璃库中，折射率范围在1.5至1.8之间，V值范围在90至20之间
例如，取V1=60，V2=36，代入上式可得：
 
1.2 像散与场曲的横向光线像差
三阶像散与场曲的横向光线像差为：
注意，δη`表示y分量（即y-z平面或子午面内的光线，），δξ`表示x分量（即x-z平面或弧矢面内的光线）。
又因为薄透镜在光阑上，
当n=1.5时，
则上式可以简化为：
例如，一个双片式透镜，焦距f`=100mm，即光焦度K=0.01mm-1，孔径为f/5，透镜的数值孔径（在空气中）u`=n`sinU`约为0.1，半视场角为1°，那么像高η`=f`tam(1°)≈1.74mm。
因此，可以计算得到：
在ZEMAX中模拟上述这个例子。

在MFE中可以使用操作数查看透镜的数值孔径（在空气中）u`=n`sinU`约为0.1，和像高η`：
再查看Seidel Coefficient：
 
1.3 同时校正 Petzval 和与轴向色差
同时校正镜头的所有像差是不可能的。
对于可见光波段的双片式透镜，这点更为明显。双片式透镜可以改变的设计参数非常少，而且很多可以产生更好结果的玻璃不能用。
例如，两个贴在一起的双片式透镜的场曲为：
其轴向色差为：
这两个方程非常类似，若我们可以找到一对玻璃满足以下条件：
就可以同时校正S4和C1。
但是，在常用玻璃库中，可以看出至少在可见光波段，不存在这样的玻璃对。
因此，对于可见光波段的双片式，可以把 Petzval 和视为一个无法校正的像差。然而，在其他波段，也许会找到合适的玻璃对。
 
1.4 双片式透镜校正像差的可能性
由以上的分析，可以总结下双片式透镜校正像差的可能性，如下图：
2. 双胶合透镜
假设双胶合透镜的两个玻璃已选定。一旦确定这个双胶合物镜的光焦度，那么这个双胶合物镜只有曲率半径是可用变量。
注意：由于薄透镜理论对于双胶合透镜大体上是成立的，所以厚度对双胶合透镜的像差影响不大，若想要得到大的变化，则厚度需要改变很大。因此，对于双胶合透镜，厚度不是一个很有用的变量。
若这个透镜在光阑处，则彗差是透镜形状的线性函数，而球差则是透镜形状的二次函
数。因此总可以找到一个可以校正彗差的透镜形状，而球差的校正则需要找到一个合适的玻璃。
如下图所示，对应于特定火石玻璃，等晕（球差和彗差都被校正）消色差双胶合透镜所需要的冕牌玻璃。当满足彗差被校正时，在这条曲线以上的冕牌玻璃将得到正球差，曲线以下的冕牌玻璃将得到负球差。曲线的左端表示单片光焦度低的双胶合，即表面曲率比较小。当冕牌玻璃的选择接近火石玻璃（图的右上端），单片的光焦度增加，表面曲率增加，直到曲率大到不能制造。
 
双胶合的负元件起到两个作用，即引入负球差和负轴向色差。
可以证明，一对光焦度为+2.5和-1.5的双片透镜通常是校正球差且保持合理曲率的最优解。
2.1 双胶合透镜的优化
如果玻璃的选择合理，我们可以利用三个半径来优化透镜。
对于第一个元件是冕牌玻璃的双胶合透镜，即“冕牌在前双胶合”，可以从合适光焦度的等凸正元件开始，然后根据总光焦度的要求，计算出火石玻璃元件的光焦度。
若玻璃的选择不合理，那么使其中一个玻璃可变。设计者可以手动替换玻璃，也可以让程序自动替换。
若把玻璃设为变量，那么大多数的程序把玻璃的折射率和色散视为连续变量，最后让设计者在玻璃库中找最接近的实际玻璃。
 
2.2 冕牌在前的双胶合透镜实例
冕牌在前的双胶合，通常称为 Fraunhofer 双胶合。
在系统通用对话框中设置孔径。
在孔径类型中选择“Entrance PupilDiameter”，并根据设计要求输入“20”；
在视场设定对话框中设置2个视场，要选择“Angle”，如下图：
在波长设定对话框中，设置F,d.C(Visible)，如下图：
LDE参数，如下图：
查看2D Layout：

 
查看Ray Fan：

在Ray Fan中，可以看出一些信息：
  • 轴上物点的像差曲线在某种程度上比标准的S形球差曲线更平，说明了其含有一点高级球差作为补偿。
  • 球差的色变量即“色球差”，其原因是不同波长的像差曲线不相同。
  • 短波与长波之间的距离比与中间波长之间的距离小，其告诉我们存在一些二级光谱。这一点表明，两端波长之间的色差校正并不与中间波长重合。
  • 对比1度子午和弧矢像差曲线在原点的斜率，只看到一点点的像散。
  • 轴上点和1度子午像差曲线在原点的斜率不一样，说明存在一些场曲，对于单正透镜这是必然的。
 
查看离焦点列图：

离焦点列图提供了轴上点和1度半视场的光线交点信息，这些交点处在近轴像面以及其他四个离焦面上，离焦间隔为0.05mm。当你对比轴上图（0 度）和离轴图（1 度），你可以看到像散效应导致的被拉长的点列图。
在点扩散图中，三种波长（d，C 和 F）的点叠加在一起，所以很难分辨出单个波长的点扩散图长什么样。
图中的彗差很小，即在横向光线像差曲线中具有二次曲线的形式，在离轴点扩散图中是“彗星”形状。
假设图中最大的横向光线像差是0.005mm，则可以推断边缘视场的光斑的总尺寸是这个的两倍即0.01mm。这表明在这个数倒数的频率处，即100线对/mm，离轴 MTF 值降到非常小。
查看几何MTF，在1度处的子午 MTF 曲线与这个预测一致。

以上表明，至少对于小孔径小视场的简单系统，Seidel 理论可以很好的预测实际镜头的像差。但是，对于大口径大视场的镜头，如照相物镜，高级像差就更重要了。
 
2.3 火石在前的双胶合透镜实例
火石元件在前的双胶合，也称为 Steinheil双胶合。
这两种形式的双胶合透镜的像差区别不大，但是Fraunhofer 形式在胶合面处的曲率更小，所以更佳。在制造透镜时，更小的曲率即更大的半径，可以同时抛光的透镜数更多，即更多经济效益。
在系统通用对话框中设置孔径。
在孔径类型中选择“Entrance PupilDiameter”，并根据设计要求输入“20”；
在视场设定对话框中设置2个视场，要选择“Angle”，如下图：
在波长设定对话框中，设置F,d.C(Visible)，如下图：
LDE参数，如下图：
查看2D Layout：

查看Ray Fan：

查看离焦点列图：

查看几何MTF：

对比Ray Fan，点列图和MTF曲线，可以看出冕牌在前的双胶合与火石在前的双胶合性能类似。
 
3. 分离双片式透镜
如果两个中间面没有胶合在一起，那么两个半径自然可以不相同，即额外增加了一个可用的变量。因此，这两个表面都可以用于控制球差和彗差。同样，选择玻璃的自由度也更大。
对于这种情况，使用薄透镜的球差和彗差方程，可以找到解析解。解析方法有一个好处，就是可以找到所有的可能解。
对于冕牌在火石玻璃前面的情况，我们可以找到两个解。其中一个对应于它的胶合形式即 Fraunhofer 双胶合透镜。而另一个双片式的火石元件的两个面都向前凸，即Gauss 双片式。可以看出第二个解的曲率更大，而通常更大的曲率意味着更大的高级像差。如下图所示：
 
分离双片式的优化通常比较简单，因为它有四个半径变量，通常能够满足四个条件。有时，中间的空气厚度也可以作为变量，这有助于减小高级球差和色球差。
 
3.1 分离的 Fraunhofer 双片式透镜实例
 
在系统通用对话框中设置孔径。
在孔径类型中选择“Entrance PupilDiameter”，并根据设计要求输入“20”；
在视场设定对话框中设置2个视场，要选择“Angle”，如下图：
在波长设定对话框中，设置F,d.C(Visible)，如下图：
LDE参数，如下图：
查看2D Layout：

查看Ray Fan：

查看离焦点列图：

查看几何MTF：

与胶合的情况相比，分离双片式的Ray Fan像差曲线更平，点列图更紧凑而且更对称。
分离式透镜的像差与胶合情况的像差非常相似，但是高级球差更小，色球差也减小了一点。高级球差被减小，是因为负透镜作用在正透镜所产生的具有像差的光束上。空气间隔的作用是改变光线在负透镜上的高度，以使负透镜的波前差被消除。和“固有像差”相比，这是一个“引入像差”的例子。
 
3.2 分离的 Gauss双片式透镜实例
 
在系统通用对话框中设置孔径。
在孔径类型中选择“Entrance PupilDiameter”，并根据设计要求输入“20”；
在视场设定对话框中设置2个视场，要选择“Angle”，如下图：
在波长设定对话框中，设置F,d.C(Visible)，如下图：
LDE参数，如下图：
查看2D Layout：

查看Ray Fan：

查看离焦点列图：

查看几何MTF：

由S2的值可知，在1度视场，子午光线像差具有很强的U形曲线，其点列图也具有彗星形状；显然，即使视场角很小，彗差还是相当大。这个比较难校正，而且离轴 MTF 大大降低。因此，Gauss双片式比 Fraunhofer双片式差。
 
假设你在光学设计程序中任意输入分离双片式的曲率值，对像差指定权重，把所有的半径都设为变量，使用“局域梯度”优化方法，然后点击优化。你将得到 Fraunhofer 与 Gauss两种形式中的一个解，至于得到哪一个解，主要与你最初设置的曲率值有关。
上面的分析表明，虽然 Gauss 形式是一个好设计，但是 Fraunhofer 形式更好。若初始透镜与 Gauss 双片式类似，那么结果将是 Gauss，再怎么优化也无法使第二个元件弯向 Fraunhofer 解。其原因是，优化程序在做一个优化之前，只在变量空间中的一个“小步”进行探索。一旦找到了一个局域最小像差，那么要找到更好的局域最小值，它必须经过一段更差的像差即更大的评价函数。
对于分离的双片式，Gauss 解是“局域最小值”的一个典型例子。显然，对于这个例子，是由简单的薄透镜理论推断出其存在两个解。然而，对于更多元件的镜头，基于经验或直觉的传统方法，在某种程度上被所谓的“全局”优化方法替代。
 
4. 双片式透镜的局限性
除了像散和场曲，双片式物镜还存在二级光谱和五级球差。因为与五级球差相关的波前差与光瞳的六次方成正比，所以大孔径的镜头受五级球差的影响。
此外，小孔径宽波段的镜头可能会受二级光谱的限制，特别是对于大焦距的系统更严重，除非使用了反常玻璃。
我们已经知道，分离双片式更好设计，因为它相对于胶合双片式多了一个变量。而且，分离双片式的性能更好，因为空气间隔变量可以用于校正或者减少五级球差。然而，就制造而言，双胶合更好，因为胶合面的像差远小于双分离中的空气玻璃界面的像差。这意味着双胶合的制造公差更宽松。而且，双胶合透镜显然比分离式更耐用更容易调试；分离式的中间空气厚度往往是一个非常敏感的设计参数，在振动和撞击的情况下还容易偏心。


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